* 複素数係数の行列に対しても同様な群が定義できる；その時、直交行列の類似物としてユニタリー行列を考える。直交群に対応するものはユニタリー群 Un であり、特殊直交群の類似物は特殊ユニタリー群 SUn になる。 * 正則行列による群の構成はベクトル空間の自己同型写像による群の構成の特別な場合だと見なすことができる。ベクトル空間 V 上の可逆線型変換全体 GL(V) は V のベクトル空間としての対称性を表していると考えられるが、これは V 上の一般線型群と呼ばれる。V に付加的な構造を与えることでその対称性は変わり、例えばベクトルの長さを定める計量を保つような線型同型写像を考えることで（考えている計量に付随した）直交変換群が得られる。高速バス 横浜 * T を座標平面の原点を重心とする正三角形とする。平面全体の等長変換のうちで T を保つものには、恒等変換、原点に関する120度、240度の回転と各頂点と対辺の中点を結ぶ軸を対称軸とする折り返しの6つがある。これらによって T の対称性が表されていると考えることができる。これら6つの変換の成す群は3次対称群あるいは位数6の二面体群と呼ばれる群に同型になる。 * 楕円曲線は可換な群の構造を持つことが知られている。 * リー群（連続群） * ガリレイ変換 * ローレンツ群 * 空間群 * 結晶点群 * 磁気空間群（シュブニコフ群） * 磁気点群 * 灰色群 基本的な概念 位数 群 G の元の数（基数）のことを位数 (order) という。位数は集合に倣って |G| や #G などの記号で表される。位数が有限な群を有限群という。 部分群高速バス TDL 群 G の空でない部分集合 H が G の群演算に関して閉じていて、H の任意の元に対して、逆元が H の元であるとき、この部分集合 H を G の部分群という。これは H の任意の元 a, b に対して ab?1 ∈ H が成り立つことと同値である。 G が群であれば、G および {e}（単位元のみからなる群、単位群）は必ず G の部分群になる。これらを自明な部分群という。それ以外の部分群は、自明でない部分群あるいは真の部分群 (proper subgroup) と呼ぶ（真の部分群に単位群を含める場合もある）。 部分群 N が群 G の任意の元 g に対して gNg?1 = N を満たすとき、N を正規部分群という。 アーベル群 G の任意の部分群は正規部分群である。また、群 G が自明でない正規部分群を持たないとき、G は単純群であるという。 剰余類・剰余群高速バス 広島 部分群 H と G の元 g について、gH はある G の部分集合になる。2 つの g, g' について gH, g'H は全く一致するか交わらないかのいずれかである。従って、 G = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} g_{\lambda} H と直和に書き表せる。それぞれの gH を （H を法とする g の属する G の） 剰余類（または傍系）という。|gH| = |H| が成り立つので結局 |G| = |Λ||H| が成り立つ。G が有限群ならばこれは H の位数が G の位数を割り切るということをいっている（ラグランジュの定理）。特に素数位数の群は巡回群である。|Λ| を [G: H] とか (G: H) などと書いて H の（G に対する）指数という。指数 1 の部分群はもとの群であり、指数 2 の部分群は常に正規部分群である。 N を正規部分群とするとき gN = Ng が成り立つ。すると、二つの剰余類 gN, hN について gN ・ hN = ghNN = ghN が成り立ち、剰余類の間に演算を定義することができる。ここからすぐにこの剰余類全体は群を成すことが分かる。この群を G の N による剰余群（または商群）といい、G/N と表す。 群の準同型・同型高速バス 格安 群 G1 から群 G2 への写像 f が任意の G1 の元 g, g' について f(gg' ) = f(g)f(g' ) を満たすとき、f を準同型（写像）という。（G1 = G2のときは特に自己準同型という。）さらに準同型 f が全単射であれば、f を同型（写像）という。G1 から G2 への同型が存在するとき、G1 と G2 は同型であるといい、 G_1 \simeq G_2 と表す。2つの群 G1, G2 とその間の準同型写像 f: G1 → G2 に対し、準同型 f の核 Ker f は G1 の正規部分群である。このとき f の像 Im f は G を f の核 Ker f で割った剰余群に同型である： G_1/\mathrm{Ker}\,f \simeq \mathrm{Im}\,f. これを（群の）準同型定理という。 群 G の自己同型（G から G への同型写像）全体の成す集合を Aut(G) と表すと、 Aut(G) は写像の合成を積として群となる。Aut(G) を G の自己同型群と呼ぶ。 群 G の任意の元 g に対し、写像 Lg: G → G, Rg: G → G, Ag: G → G を Lg(x) = gx Rg(x) = xg?1 Ag(x) = gxg?1パラオ ダイビング (for all x ∈ G) で定めると、この 3 つの写像は全て G の自己同型を定める。特に Ag の形で得られる自己同型を G の内部自己同型と呼び、G の内部自己同型全体の成す集合を Inn(G) と表す。Inn(G) は Aut(G) の正規部分群であり、Inn(G) を G の内部自己同型群と呼ぶ。さらに剰余群 Out(G) = Aut(G)/Inn(G) を外部自己同型群とよび、その元を外部自己同型という。群 G の部分群 N が正規部分群であることと、N が G の任意の内部自己同型で不変であることは同値である。さらに N が Aut(G) の作用で不変なら N は G の特性部分群であるという。 共役 群 G の二つの元 x, y に対し、y = Ag(x) = gxg?1 となる g ∈ G が存在するとき、x と y は互いに共役（共軛ともかく）であるという。同様に、部分群 H, K に対し、H = gKg?1 となる g ∈ G が存在するなら、二つの部分群 H, K は互いに共役であるという。共役であるという関係は群 G の同値関係である。群 G を共役という同値関係で類別したときの同値類を共役類 (conjugacy class) という。有限群 G をその共役類 Cl1, ..., Cln に類別すれば、位数に関して次の等式 | G | = ∑ | Clk | k SEOとは を考えることができる。これを類等式と呼ぶ。G の元 x がその中心 Z(G) に属することと x の属する共役類が {x} なる一元集合であることとは（中心の定義から直ちにわかるように）同値であり、2 個以上の元からなる共役類の全体を C1, C2, ..., Cr とすれば、類等式は |G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^{r}|C_i| の形に書くことができる。有限群 G が p-群（位数が p の冪であるような群）ならば、その中心が自明群でないことは類等式から直ちにわかる。 中心・中心化群・正規化群 群 G のすべての元と可換な G の元の全体を Z(G) や C(G) などと書いて、G の中心 (center) という。群 G とその部分集合 S に対し、G の部分集合 C_G(S)=\{g \in G \mid sg=gs \ (\forall s \in S)\} は S をその中心に含む G の部分群となる。この群 CG(S) を S の G における中心化群 (centralizer) という。S が一元集合 {x} であるとき、CG(S) を CG(x) と略記する。G の各元 x に対して、その中心化群 CG(x) の G に対する指数 [G : CG(x)] は x の属する共役類の位数に等しい。 群 G の部分集合 S に対して、G の部分集合 N_G(S)=\{g \in G \mid gSg^{-1}=S\} は（S が部分群でなくとも）G の部分群となる。この NG(S) を S の G における正規化群 (normalizer) と呼ぶ。H が群 G の部分群であるときは、その正規化群 NG(H) は H を含む。また H は正規化群 NG(H) の正規部分群である。これを、NG(H) は H を正規化 (normalize) するといい表す。一般に G のふたつの部分群 H1, H2 に対し、H1 が H2 を正規化するとは、 hH2h ? 1 = H2 が H1 のどの h についても成立することを言う石垣島 ダイビング。 可解群・交換子群・べき零群 群 G が、 G の正規部分群の有限列 H1, H2, ..., Hr で 2 条件 G = H0 ⊃ H1 ⊃ H2 ⊃ … ⊃ Hr ⊃ Hr+1 = {e}、 Hi/Hi+1 (0 ? i ? r) は全てアーベル群 を満たすもの（アーベル的正規列）を持つとき、G は可解群であるという。 奇数位数の有限群はすべて可解であることが、トンプソンらによって証明されている（フェイト・トンプソンの定理）。トンプソンはこの業績によりフィールズ賞を受ける。位数が59以下の有限群は、すべて可解群であることもわかっている。 代数方程式が代数的に可解となることと、その方程式のガロア群が可解群となることは同値である。このことが可解群の名の由来である。また、4 次以下の交代群は可解であるのに対し、5 次の交代群 A5 は可解でなく、したがってそれは 「5 次の一般代数方程式はべき根のみによって求めることは出来ない」という命題の証明となる。 また、可解群の定義は次のように述べることもできる（両者の定義は同値）： G の部分群 D(G) を D(G) =ビジネスホテル大阪 と定め、H1 = D(G), H2 = D(H1), ... と帰納的に G の部分群 Hi を定めるとき、Hr = {e} となる自然数 r が存在するならば G を可解群と呼ぶ。 一般に、xyx?1y?1 を x と y の交換子と呼び、[x, y] であらわす。さらに G の部分群 H, K に対し、[h, k] (h ∈ H, k ∈ K) の形の元で生成される G の部分群を [H, K] で表し、H と K の交換子群という。 この記号を用いれば、D(G) = [G, G] であり、これを G の交換子群と呼ぶ。D(G) は G の特性部分群、したがって特に正規部分群である。すぐに分かるように、D(G) = {e} は G がアーベル群となることに同値である。したがって、剰余群 G/H がアーベル群となるなら H ⊇ D(G) であり、自然に G/H ⊆ G/D(G) と見なせるので、G/D(G) は G の剰余アーベル群の中で最大のものになる。よって G/D(G) を G の最大剰余アーベル群あるいは G のアーベル化、アーベル商などと呼ぶ。 次の2つの同値な条件を満たす群をべき零群(nilpotent group)という。 Γ1(G) = [G,G]とし、以下Γi + 1(G) = [G,Γi(G)]と定めるとき、あるrが存在してΓr = {e}となる。セブ ダイビング Gの部分群の列 \{1\}=G_0 \sub G_1 \sub \cdots \sub G_n=G であって、各GiがGの正規部分群であり、Gi / Gi ? 1がG / Gi ? 1の中心に含まれるようなものが存在する。 可換群およびp群はべき零群である。また、べき零群は可解群である。 可解性・べき零性の遺伝：べき零群の部分群および剰余群はべき零群である。可解群の部分群および剰余群は可解群である。逆にGの正規部分群Nと剰余群G/Nがともに可解群ならGは可解群である。（べき零群の場合には同様の主張は成り立たない。） 群の直積と半直積 群 G と群 H に対し、その直積集合 G × H 上に大阪ビジネスホテル (g1,h1)(g2,h2) = (g1g2,h1h2) という積を定めることで群となる。これを群の（外部）直積 (direct product) または構成的直積という。また、群 G がその部分群 H1, H2 の（内部）直積である、あるいは直積に分解されるとは、以下の条件 1. H1 と H2 は G の部分群で G = H1H2 = {h1h2 | h1 ∈ H1, h2 ∈ H2} が成り立つ。 2. H1 ∩ H2 = {1G}, ただし 1G は G の単位元。 がともに満たされることをいう。 G = H_1 \times H_2宮古島 ダイビング で表す。右辺の直積を構成的直積と呼ぶこともある。G の部分群という構造を落として、H1, H2 の外部直積をつくったものと内部直積とは、二つの自然な埋め込み H_1 \to H_1 \times H_2;\ h \mapsto (h,1_g), H_2 \to H_1 \times H_2;\ h \mapsto (1_g,h) をそれぞれ同一視することで本質的に同じものであることがわかる。 群 H と群 N と準同型写像 f: H → Aut(N) が与えられているとき、直積集合 N × H 上に (n1,h1)(n2,h2) = (n1f(h1)(n2),h1h2) で積を定めると群となる。これを H と N の f による半直積 (semi-direct product) という。なお、この群で N は正規部分群となる。 有限群の構造定理